Prof. Dr. Nicolas Perkowski

Prof. Perkowski erforscht singuläre stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDEs) und deren mathematische Strukturen. Sein aktueller Fokus liegt auf dem Verständnis von Grenzflächenphänomenen wie der KPZ-Gleichung, dem parabolischen Anderson-Modell sowie auf theoretischen Grundlagen wie Regularitätsstrukturen und Renormierungsmethoden. Diese Arbeiten sind fundamental für die mathematische Modellierung von Systemen mit Zufallseinflüssen — etwa in der Materialwissenschaft, Klimamodellierung oder Finanzmodellierung — und liefern die theoretischen Werkzeuge, um komplexe stochastische Prozesse in zufälligen Medien rigoros zu analysieren.

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• IGRK 1740/2: Dynamische Phänomene in komplexen Netzwerken: Grundlagen und Anwendungen

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  Netzwerke mit komplexer Topologie haben sich während des letzten Jahrzehnts als ein erfolgreicher Zugang erwiesen, um große komplexe Systeme zu verstehen. Ihre Anwendbarkeit erstreckt sich über viele Gebiete wie z.B. Neurowissenschaften, Ingenieurswissenschaften, Soziologie oder auch Ökonomie. Der Fokus der meisten Studien lag bisher auf festen, unabänderlichen Topologien; daher waren die Analysen in ihrem Anwendungsbereich stark eingeschränkt. In unserem iGRK untersuchen wir Prinzipien der Selbstorganisation in zeitlich veränderlichen, komplexen Netzwerken. Um diese Ansätze realitätsnäher zu gestalten, sollen zusätzlich Einflüsse von Netzwerkheterogenitäten, multiskaligen, zeitlichen Verzögerungen sowie von stochastischen Quellen erforscht werden. Diese theoretischen Studien werden eng mit der Untersuchung experimenteller und natürlicher Netzwerke zunehmender Komplexität, von Stromnetzen über Infektionsnetzwerke und Neuronennetzwerke bis zum Erdsystem verknüpft. Letzteres ist eine Herausforderung, auf die wir besonderes Augenmerk legen werden. Ein Hauptthema des Graduiertenkollegs wird daher auch das Verständnis von Teilsystemen der Erde unter sich wandelnden Bedingungen sein. Insbesondere werden Einflüsse wie die globale Erwärmung und der Landnutzungswandel im Amazonasgebiet untersucht.

• FOR 2402/1: Singuläre SPDEs: Approximation und statistische Eigenschaften (TP 05)

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  Parakontrollierte Distributionen und Regularitätsstrukturen sind neuartige Theorien, deren Mächtigkeit in den letzten Jahren anhand zahlreicher Anwendungen klar geworden ist. Bisher wurden beide vor allem eingesetzt, um die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösungen singulärer stochastischer partieller Differentialgleichungen (SPDEs) zu untersuchen. Wir denken, dass nun der richtige Zeitpunkt ist, um die Schlagkraft der beiden Theorien auch in Bezug auf allgemeinere Fragestellungen zu untersuchen. Konkret wollen wir qualitative Eigenschaften der Lösungen singulärer SPDEs studieren, insbesondere physikalische Effekte wie z.B. Alterungseffekte (aging) oder Intermittenz. Wir werden uns auf zwei der prominentesten und vielversprechendsten Gleichungen konzentrieren, die Kardar-Parisi-Zhang Gleichung und das parabolische Anderson Modell. Indem wir unsere Expertise in den Feldern aging und Intermittenz und parakontrollierte Distributionen / Regularitätsstrukturen kombinieren, verfügen wir über ein großes Arsenal an Techniken, die uns helfen werden, ein deutlich besseres Verständnis der beiden Gleichungen zu erlangen.

• KPZ Reloaded

  2016

  Communications in Mathematical Physics · DOI

• Energy solutions of KPZ are unique

  2017

  Journal of the American Mathematical Society · DOI

  The Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation is conjectured to universally describe the fluctuations of weakly asymmetric interface growth. Here we provide the first intrinsic well-posedness result for the stationary KPZ equation on the real line by showing that its <italic>energy solutions</italic> , as introduced by Gonçalves and Jara in 2010 and refined by Gubinelli and Jara, are unique. This is the first time that a singular stochastic PDE can be tackled using probabilistic methods, and the combination of the convergence results of the first work and many follow-up papers with our uniqueness proof establishes the weak KPZ universality conjecture for a wide class of models. Our proof builds on an observation of Funaki and Quastel from 2015, and a remarkable consequence is that the energy solution to the KPZ equation is not equal to the Cole–Hopf solution, but it involves an additional drift <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t slash 12"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t/12</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .

• PARACONTROLLED DISTRIBUTIONS AND SINGULAR PDES