Prof. Dr. Gavril Farkas

Prof. Farkas erforscht die Geometrie von Modulräumen – das sind mathematische Räume, die Familien geometrischer Objekte wie Kurven parametrisieren. Sein aktueller Fokus liegt auf Syzygien (algebraische Strukturen, die die Auflösung von Idealen beschreiben) und Koszul-Modulen sowie deren Anwendungen auf die Birationalgeometrie von Kurvenmoduliräumen. Er entwickelt dabei neue Techniken über K3-Flächen und Stabilitätsbedingungen, um klassische Probleme der algebraischen Geometrie wie die Green-Vermutung oder die Brill-Noether-Theorie zu lösen. Die Ergebnisse sind fundamental für die theoretische Mathematik und ermöglichen tiefere Einsichten in die Struktur algebraischer Varietäten; praktische Anwendungen entstehen durch die Verbindung zu topologischen Invarianten und Gruppentheorie.

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• SFB 647/1-2: Strings, D-Branes und Mannigfaltigkeiten von spezieller Holonomie (TP A01)

  Quelle ↗

  Förderer: DFG Sonderforschungsbereich Zeitraum: 01/2005 - 06/2009 Projektleitung: Prof. Dr. Gavril Farkas

• SFB 647/2-3: Enumerative Geometry of Moduli Spaces (TP A 09/C 03)

  Quelle ↗

  Förderer: DFG Sonderforschungsbereich Zeitraum: 01/2009 - 12/2016 Projektleitung: Prof. Dr. Gavril Farkas

• The Birational Geometry of Moduli Space of Curves via Macaulay2

  Quelle ↗

  Förderer: DFG Sachbeihilfe Zeitraum: 07/2010 - 06/2013 Projektleitung: Prof. Dr. Gavril Farkas

• Koszul divisors on moduli spaces of curves

  2009

  American Journal of Mathematics · DOI

  Given a moduli space, how can one construct the ``best'' (in the sense of higher dimensional algebraic geometry) effective divisor on it? We show that, at least in the case of the moduli space of curves, the answer is provided by the Koszul divisor defined in terms of the syzygies of the parameterized objects. In this paper, we find a formula for the slopes of all Koszul divisors on $\overline{{\cal M}}_g$. In particular, we obtain the first infinite series of counterexamples to the Harris-Morrison Slope Conjecture and we prove the Maximal Rank Conjecture in the case when the Brill-Noether number of the corresponding linear series equals~$0$. We also find shorter proofs for the formulas of the class of the Brill-Noether and Gieseker-Petri divisors. Finally, we improve most of Logan's results on the Kodaira dimension of the moduli spaces $\overline{{\cal M}}_{g, n}$ of pointed stable curves.

• The Kodaira dimension of the moduli space of Prym varieties

  2010

  Journal of the European Mathematical Society · DOI

  We study the enumerative geometry of the moduli space \mathcal R_g of Prym varieties of dimension g–1 . Our main result is that the compactication of \mathcal R_g is of general type as soon as g > 13 and g is different from 15 . We achieve this by computing the class of two types of cycles on \mathcal R_g : one defined in terms of Koszul cohomology of Prym curves, the other defined in terms of Raynaud theta divisors associated to certain vector bundles on curves. We formulate a Prym–Green conjecture on syzygies of Prym-canonical curves. We also perform a detailed study of the singularities of the Prym moduli space, and show that for g ≥4 , pluricanonical forms extend to any desingularization of the moduli space.