Prof. Dr. Hans Jürgen Prömel

• DFG-Forschungszentrum "Mathematik für Schlüsseltechnologien - MATHEON": Analysis and modelling of complex networks (Teilprojekt A 5)

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  Projekt A5: Analyse und Modellierung komplexer Netzwerke<br>Ziel des Projekts ist der Entwurf realistischer stochastischer Netzwerkmodelle für Datenbanken in den Lebenswissenschaften und die Entwicklung effizienter Algorithmen, welche kritische Aufgaben in diesen Netzwerken, wie z.B. suchen, speichern und sortieren, bewältigen. Der Grundgedanke hierbei ist, dass die Analyse dieser Modelle typische Eigenschaften solcher Netzwerke bestimmt, und so zum einen ein Mittel zur Beantwortung der Frage darstellt, wie gut diese reale Phänomene beschreiben, und zum anderen den Algorithmen erlauben, statistische Eigenschaften auszunutzen.<br>Die Erfahrung zeigt, dass viele große Netzwerke (das "www" eingeschlossen) , die in der Natur auftreten, sogenannte "kleine-Welt-Eigenschaften" besitzen, d.h. sie haben lokale Cluster und gleichzeitig, trotz einer insgesamt nur geringen Anzahl von Verbindungen, einen kleinen Durchmesser. Außerdem verläuft die Gradverteilung häufig nach einem Potenzgesetz. Ähnliche Eigenschaften wurden bei Datenbanken in den Lebenswissenschaften beobachtet. Ein solches Beispiel, welches uns hier interessiert, hat Teile der sekundären Strukturelemente von Proteinen als Knoten, wobei die potentielle molekulare Interaktion bestimmt, ob diese verbunden werden. Einer der wichtigsten Aufgaben in der computergestützten Medikamentenentwicklung ist das sogenannte "virtuelle Screening", welches zur Aufgabe hat, verbundene Paare in diesem Netzwerk effizient zu finden. Die Größe der Datenbanken verbieten einen einfachen "brute-force" Ansatz, und die Prozeduren, welche die Relevanz eines Paares berechnen, werden häufig weiter entwickelt. Daher könnte ein geeignetes stochastisches Modell eine große Hilfestellung für den Entwurf intelligenter Datenbanksuchstrategien leisten.

• FG 413: Algorithmen, Struktur, Zufall (II)

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  Der Entwurf und die Analyse von Algorithmen ist eng verknüpft mit Einsichten in die Struktur der Objekte, die die Algorithmen als Eingabe erhalten. Das zentrale Thema des Forschungsvorhabens ist es, diese Verknüpfung im Hinblick auf den Einfluss des Zufalls zu untersuchen - wie wirkt sich die Hinzunahme von Zufall auf algorithmische und strukturelle Fragestellungen in der Diskreten Mathematik aus? Der Zufall ist hierbei gleichermaßen Forschungsobjekt wie Untersuchungsmethode. Im Hinblick auf Strukturerkenntnisse wird einerseits nach Eigenschaften gesucht, die zufällige Objekte mit hoher Wahrscheinlichkeit besitzen, andererseits charakterisieren wir Objekte durch Benutzung des Zufalls. Und auch unter algorithmischen Aspekten setzt sich diese Dualität fort: Einerseits wird untersucht, wie sich Algorithmen auf zufälligen Eingaben verhalten, andererseits werden Verfahren analysiert, deren Entscheidungen zufällige Komponenten aufweisen. Auf der algorithmischen Seite gilt das Interesse kombinatorischen Optimierungsproblemen. Dadurch treten ganz natürlich Polytope, Graphen und partielle Ordnungen als Forschungsobjekte von Strukturuntersuchungen in den Mittelpunkt. Die Forschergruppe bündelt dabei die individuellen Erfahrungen und Kompetenzen, die die beteiligten Arbeitsgruppen in den letzten Jahren mit unterschiedlichen Ansätzen in dem Spannungsfeld von Algorithmen, Struktur und Zufall gewonnen haben.

• FG 413: Algorithmen III (-4)

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  <p>Üblicherweise besagt ein mathematischer Satz, dass alle Elemente einer festgelegten Klasse eine bestimmte Eigenschaft haben. Im Gegensatz dazu hat dieses Projekt die Charakterisierung zufälliger Objekte als zentrales Thema. Gemeint ist hiermit die Suche nach strukturellen Eigenschaften, die ein zufällig aus einer Klasse ausgewähltes Element mit hoher Wahrscheinlichkeit hat.</p> <p>Die Beantwortung der Charakterisierung zufälliger Objekte und der durch sie charakterisierten Fragestellungen dieses Projekts ist in vielen Fällen die Grundvoraussetzung für eine probabilistische Analyse eines Algorithmus. Eine solche Analyse, bei der die Leistung des Algorithmus an einer (gemäß einer stochastischen Verteilung) zufällig ausgewählten Instanz gemessen wird, beruht auf den Eigenschaften eines typischen Elements des Suchraums und ein vollständiges Bild dieser typischen Struktureigenschaften wiederum ergibt sich häufig erst dann, wenn die Evolution der zugrunde liegenden Klasse geklärt ist.</p> <p>Ein wesentlicher Bestandteil dieses Teilprojekts besteht in der Untersuchung der Evolution von G(n,p). Der Evolutionsaspekt besteht darin, dass man wissen möchte, wie sich typischen Eigenschaften von G(n,p) mit wachsender Kantenwahrscheinlichkeit p verändern. Für viele Parameter ist das Evolutionsverhalten inzwischen geklärt. Für "komplexe" Parameter wie die Listenchromatische Zahl oder die Theta-Funktion sind wesentliche Fragen noch offen. Neuere Hilfsmittel wie z.B. die Talagrand-Ungleichung haben allerdings in jüngster Zeit erhebliche Fortschritte ermöglicht.</p> <p>Weitaus weniger weiß man bisher über die Evolution von zufälligen Graphen mit Nebenbedigungen. In diesem Teilprojekt werden drei verschiedene Nebenbedingungen betrachtet:<br>Erstens zufällige Graphen mit verbotenen Teilgraphen,<br>zweitens zufällige planare Graphen und<br>drittens sogenannte "kleine Welt"-Netzwerke.</p> <p>Ein wesentliches Ziel bei der Untersuchung solcher Netzwerke ist die Charakterisierung (im Sinne von Charakterisierung von Objekten durch Zufall) von komplexen Netzwerken durch geeignete Zufallsmodelle.</p>

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